网络科学使得幂律(power law)和无标度(scale-free)变得非常普及。那么究竟无标度的意义是什么呢?其实,无标度来源于统计物理的一个分支:相变理论(the theory of phase transition)。要理解无标度概念,我们需要了解度分布的moments(中文翻译为)。

度分布的n阶矩被定义为: $ <k^n> = \sum_{k_{min}}^{k_{max}}k^np_k = \int_{k_{min}}^{k_{max}}k^np_kdk $ (1)

低阶矩具有明确的统计意义:

  • n = 1的时候,一阶矩是$<k^{}>$,即平均度。
  • n = 2的时候,二阶矩是$<k^2>$,可以帮助计算方差 $ \delta^2 = <k^2> - <k^{}>^{2} $,测量了度的离散程度(the spread in the degrees)。
  • n = 3的时候,三阶矩是$<k^3>$, 决定了度分布的偏度(skewness),测量了$p_k$围绕着 的对称性。

对于无标度网络而言,满足幂律分布: $p(k) = Ck^{-\gamma}$ (2)

由公式(1)和(2)可以得到: $ <k^n> = \int_{k_{min}}^{k_{max}}k^np_kdk = C \frac{k_{max}^{n- \gamma +1} - k_{min}^{n - \gamma +1}}{n - \gamma + 1} $ (3)

可以使用wolframalpha的积分计算器积分来进行简单验证,例如x^(n-r)dx从10到100积分 网页链接:http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E%28n-r%29+dx+from+10+to+100

显然:

  • 当$n - \gamma +1 <= 0$时,随着$k_{max}$增加,$k_{max}^{n- \gamma +1} \rightarrow 0$。所有满足$n <= \gamma -1$的n阶矩都是有限的。
  • 当$n - \gamma +1 >0 $时,随着$k_{max}$增加,$k_{max}^{n- \gamma +1} \rightarrow \infty$。所有满足$n > \gamma -1$的n阶矩都是无极限的。

对于无标度网络而言,一般幂参数$2 < \gamma < 3$,所以:

  • 对于n = 1的情况,即一阶矩平均度$<k^{}>$是有限的。
  • 但对于n >= 2的情况,即$k^2$或$k^3$是无极限的。二阶和高阶矩无穷大是“无标度”的来源

下图最为直接的描绘出了这种特点,即与正态分布等相比,无标度网络下降的慢

  • 对于任何指数类型的分布,如泊松分布或高斯分布,随机选取一个节点的度在平均度附近,因此平均度就是这些网络的尺度
  • 对于一个幂律分布而言,因为二阶矩发散,在网络中随机抽取一个节点的度可以显著的不同于平均度$<k^{}>$, 因此平均度不再是网络的尺度,称之为无标度。

scaling-figure

一言以蔽之,在无标度的意义是,在网络中随机抽取一个节点的度可以显著的不同于平均度$$。

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